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Dificuldade em matemática é comum no país outubro 17, 2008

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Por que a matemática continua sendo o ponto fraco da educação brasileira e as idéias dos especialistas para que nossas crianças se apaixonem por ela

Na extensa lista de mazelas da educação brasileira, uma em particular vem tirando o sono dos especialistas: o déficit no aprendizado da matemática. No principal exame internacional de avaliação de estudantes, o Pisa, sigla para Programme for International Student Assessment, o Brasil ficou na lanterna no ensino de matemática, entre 41 países participantes, no teste realizado em 2003, e em 54º lugar, entre 57 países, em 2006. A prova avalia estudantes com 15 anos. Estudos com alunos brasileiros em outras etapas da vida escolar confirmam essa tendência. O último teste aplicado pelo Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb) mostrou que 80% dos alunos de 4ª série, 87% dos de 8ª série e 87,3% dos de 3ª série do ensino médio não atingiram a pontuação mínima adequada. Ou seja, na média, um aluno da 8a série no Brasil não consegue analisar gráficos de colunas, acha difícil lidar com conversão de medidas e não tem a menor idéia de como efetuar cálculos de juros. Pelos padrões internacionais, já deveriam saber tudo isso.

As más notas são um sintoma eloqüente, mas ainda não dão a dimensão exata da gravidade da doença. Ignorar os conteúdos básicos da matemática significa estar despreparado para a cidadania. Afinal, lidamos com números ao fazer uma receita de bolo, planejar o orçamento doméstico, decidir se é melhor comprar um eletrodoméstico a prazo ou à vista ou mesmo ao tentar compreender as preferências dos eleitores em uma eleição democrática. Mas o aprendizado da matemática tem um papel ainda maior, conforme explica a pesquisadora Inés María Gómez Chacón, professora titular da Universidade Complutense de Madri: é essencial para a formação das estruturas de pensamento das crianças e dos jovens. “Matematizar é um exercício de gerar nexos com a realidade”, diz ela. Outro especialista de renome, João Pedro Ponte, catedrático em ciências da educação da Universidade de Lisboa, complementa: “Contribui certamente para o desenvolvimento de um pensamento rigoroso e para a compreensão do que é e do que não é um argumento válido”. Ou seja: vêm aí gerações inteiras de crianças e jovens que terão maior dificuldade de inserção no mundo globalizado, onde a chave-mestra é a capacidade de aprender continuamente.

A situação é mais grave nas camadas menos favorecidas e no sistema de ensino público, mas está longe de se concentrar nesses estratos sociais. Em 2007, pela terceira vez, o Instituto Paulo Montenegro, ligado ao Ibope, ouviu pessoas de todas as faixas etárias buscando mapear o analfabetismo funcional – num paralelo com o mundo das letras, esse conceito identifica pessoas que sabem ler palavras, mas são incapazes de escrever uma carta. A constatação do trabalho é dramática: pouco menos da metade da população com idade entre 15 e 64 anos, com ensino médio e superior completos, pode ser considerada plenamente alfabetizada em matemática. “Comparando com resultados de anos anteriores, o dado preocupante é que não houve uma melhora significativa”, diz Ana Lúcia Lima, diretora executiva do Instituto Paulo Montenegro. “É uma catástrofe.”

Para compreender as origens do problema, é preciso separar as dificuldades específicas do ensino da matemática das deficiências estruturais do ensino brasileiro, como professores desvalorizados, mal formados e sem condições adequadas de trabalho. Há pelo menos duas ordens de questões: as metodológicas, ou seja, aquelas relacionadas a o quê e como ensinar, e outras diretamente ligadas a um preconceito socialmente difundido de que matemática é para “iluminados”. Nesse ponto, os Parâmetros Curriculares Nacionais, criados pelo Ministério da Educação há dez anos para oferecer um norte pedagógico aos professores das diferentes regiões do país, são modernos: prevêem a utilização de estratégias como o uso de jogos e uma aproximação amigável com o universo dos números. “Mas há uma grande distância entre a teoria e aquilo que efetivamente chega à sala de aula”, diz a pesquisadora Kátia Smole, uma das autoras do PCN na área da matemática. Nas escolas brasileiras, desde o ensino fundamental, os alunos deparam com um conhecimento desconectado da realidade. “Como a matemática é apresentada por meio de uma linguagem sofisticada e nada natural, há obstáculos de decodificação”, explica Antonio José Lopes, doutorando pela Universidade Autônoma  de Barcelona e autor de livros didáticos. Para Maria Tereza Carneiro Soares, da
Faculdade de Educação da Universidade Federal do Paraná, consultora do Pisa, esse é um dos motivos para o insucesso dos alunos brasileiros no Pisa, que cobra um conhecimento matemático cotidiano e indispensável para o mundo do trabalho.

O que se busca hoje é tirar da educação matemática o excesso de formalismo da linguagem – apresentada como se fosse uma sucessão de fórmulas, regras e enunciados –, de maneira a aproximá-la da vida real, passando a ter mais sentido para o aluno. Pode ser muito prazeroso descobrir quanto de matemática existe na confecção de uma pipa ou participar de jogos nos quais a compreensão das regras passa pelos princípios matemáticos fundamentais. É essa distância entre modos de ensinar a matemática que separa, por exemplo, o jovem Mateus Henrique Pedroso Cárdia, 11 anos, de sua mãe, a professora de educação infantil Sílvia Helena, que não consegue ajudá-lo nas questões envolvendo números. “No meu tempo de escola, era uma matéria difícil, teórica”, diz ela. No colégio de Mateus, os professores sempre traçaram paralelos entre a vida concreta e o conhecimento teórico. “O resultado é que eu sempre tive dificuldades, mas o Mateus adora; ele me apresenta uma dúvida e logo encontra, pelos próprios caminhos, a solução.”

Uma ciência para poucos Essa visão sobre a matemática está por toda parte. A  pesquisadora Inés Gómez Chacón, autora do livro MATEMÁTICA EMOCIONAL (ARTMED), analisou o grande impacto das emoções no aprendizado dos números. Para ela, boa parte da dificuldade se explica pelo grau de ansiedade e pela auto-estima dos estudantes. Quanto mais autoconfiantes, melhor o desempenho com números; já a baixa auto-estima leva a um medo excessivo de cometer faltas, a uma diminuição no grau de atenção, na memorização e até mesmo na eficácia do raciocínio. Com base nisso, propõe novas condutas em sala de aula, mostrando ao aluno que suas idéias são importantes e que a matemática não é um mundo de certezas, mas também um conhecimento experimental. O estudo mostra ainda a importância do papel dos pais no fortalecimento da auto-estima da criança.

Aprender os números não é uma capacidade inata, lembra a pesquisadora Kátia Smole. O aluno precisa aprender que existem muitos caminhos, e não apenas aquele que o professor ensina. “Por outro lado, há alunos talentosos e fascinados pelos desafios da matemática, mas muitas vezes os professores nem atentam para isso, pois estão centrados nos procedimentos e nas técnicas”, afirma ela. Não pode haver trajetória melhor do que a do pintor Antonio Peticov. O artista repetiu cinco vezes de ano, em grande parte por suas dificuldades com o aprendizado dos números. Hoje, tornou-se famoso em muitos países porque sua arte incorpora conceitos matemáticos, como a Regra de Ouro. Baseada em uma seqüência algébrica conhecida como Número de Fibonacci e muito utilizada no Renascimento, estabelece proporções geométricas de modo, por exemplo, a guiar a atenção do espectador para certa seção da obra. Por esse talento, Peticov foi convidado a integrar a Lewis Carroll Society, que reúne especialistas em matemática das mais diversas áreas. “Há matemática em tudo, na arte e na vida”, diz ele.

Propriedade distributiva julho 8, 2008

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Para que ela serve numa multiplicação

As propriedades da matemática precisam ser estudadas com o objetivo de facilitar o cálculo. A propriedade da distributiva é muito aplicada na resolução de equações e nas simplificações de várias expressões. Uma forma de compreendê-la é com exemplos da aritmética que possibilitam uma interpretação com mais significado.

Vamos partir de uma situação em que o preço de um determinado produto é parcelado em quatro vezes com o valor da parcela igual a R$ 62,00. Matematicamente podemos escrever que o preço total do produto é igual a:

62,00 + 62,00 + 62,00 + 62,00 = 4 x 62,00 = 248,00

Utilizando o procedimento da decomposição reescrevemos o valor de 62 reais em uma soma de duas ou mais parcelas. São inúmeras as possibilidades e vou escolher um exemplo qualquer.

62,00 = (30,00 + 32,00)

Escolhendo essa decomposição e retornando ao problema temos que 4 x 62,00 = 4 x (30,00 + 32,00). Com o valor da parcela decomposta, dentro dos parênteses, podemos escrever que:

4 x 62,00 = (30,00 + 32,00) + (30,00 + 32,00) + (30,00 + 32,00)
+ (30,00 + 32,00)

A repetição da parcela 30,00 + 32,00 ocorre quatro vezes permitindo o reagrupamento 4 x 30,00 + 4 x 32,00. Realizando as operações de soma e multiplicação em cada membro da expressão obtemos como resultado 248,00 = 120,00 + 128,00.

Dessa forma, descobrimos que na expressão 4 x (30,00 + 32,00) o fator 4 pode ser distribuído antes de realizarmos a soma. Essa propriedade é conhecida como da distributiva e podemos testá-la, mais uma vez, mantendo o problema das nossas 4 parcelas de 62,00, e decompondo-as em um novo formato.

4 x 62,00 = 4 x (80,00 – 20,00 + 2,00)

Apesar de esta decomposição de 62,00 não facilitar muito o cálculo, ela ajuda a generalizar essa importante propriedade. A propriedade da distributiva pode ser aplicada no produto em que os fatores são decompostos por meio da soma ou da subtração.

4 x 62,00 = 4 x (80,00 – 20,00 + 2,00) = 4 x 80,00 – 4 x 20,00
+ 4 x 2,00 = 320,00 – 80,00 – 8,00 = 248,00

Uma de suas aplicações ocorre em determinados modelos de equações como, por exemplo 2 (x +4) = 3x – 4. Para o desenvolvimento da resolução desse tipo de equação temos que utilizar a propriedade da distributiva fazendo:

2 (x + 4) = 3x – 4
2x + 8 = 3x – 4
8 + 4 = 3x – 2x, sendo x = 12

São muitas as situações e problemas em que são exigidos essa propriedade. O caminho inverso, que é o de descobrir o fator que é distribuído, é muito usado nas simplificações sendo conhecido como o procedimento de colocar em evidência. Os exemplos mais clássicos aparecem nos casos dos números irracionais.

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A possibilidade de simplificação aparecerá nos casos em que possa ser lembrado o conceito de fração equivalente. Para algumas situações, fica fácil perceber que quando temos o mesmo número multiplicando o numerador e o denominador, esses dois números podem ser cancelados mantendo a equivalência. Um desses números poderá ser o fator que foi colocado em evidência.

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Mesmo quando o fator não estiver tão evidente podemos descobri-lo com o desenvolvimento de algumas práticas exercitando a multiplicação.

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Na álgebra, as simplificações das expressões literais utilizam essa propriedade de uma forma exaustiva.

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É também um recurso para a resolução de uma equação do segundo grau, quando na equação não existe o termo independente. Possibilita uma resolução colocando a incógnita em evidência para a respectiva análise da solução.

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Tanto na aritmética como na álgebra a propriedade da distributiva é um dos melhores exemplos de como uma propriedade pode servir de recurso e ferramenta para aperfeiçoarmos o nosso conhecimento matemático.

Raiz de uma equação do 2º Grau junho 27, 2008

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Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x2 – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.

Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.

Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.

X = – b ± √ ∆ sendo que ∆ = b2 – 4 . a . c
           2 . a

Exemplo1
t2 – 6t = 0

Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = – 6
c = 0

Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)2 – 4 . 1 . 0
∆ = 36 – 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)

X = – b ± √ ∆
           2 . a

X = – ( -6) ± √36
                 2 . 1

X = + 6 ± 6
             2

X’ = 6 + 6 = 12 = 6
          2          2

X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
             2       2

Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).

Exemplo 2

4x2 – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = – 28
c = 49

Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)2 – 4 . 4 . 49
∆ = 784 – 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)

X = – b ± √ ∆
          2 . a

X = – (-28) ± √0
              2 . 4

X = 28 ± 0
           8

X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
            8          8

X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
             8          8

Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).

Exemplo 3:
(y – 3)2 = – 1

Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:

y2 – 2 . y . (-3) + (-3)2 = – 1
y2 + 6y + 9 + 1 = 0

y2 + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10

Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 62 – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = – 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)

X = – b ± √ ∆
           2 . a

X = – 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
             2

Portanto, essa equação não tem raiz real.

• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação

O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:

∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.

∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.

∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais.

Adição e Subtração de Matrizes junho 27, 2008

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A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada.

Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas.

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b12.

►Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.

Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+ = 3 x 3

Observe os elementos em destaques:

a13 = – 1 e b13 = – 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = – 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32 + b32.  Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = – 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

►Subtração

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21.

Exemplos:

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

= 3 x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a13 – b13 = c13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

Quando subtraímos a31 – b31 = c31, – 4 – (-1) = -4 + 1 = -3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

Fração geratriz – Dízima periódica junho 19, 2008

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Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica?

Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.

Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.

Dízimas periódicas simples

a) 0,2222…
Período: 2

Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.

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Página 3

Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.

Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:

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Dízimas periódicas compostas

a) 0,27777…
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) – (parte inteira com antiperíodo)

Assim:

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b) 1,64444…

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c) 21,308888… (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)

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d) 2,4732121212… (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)

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Por que dá certo?

Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:

Chama-se a fração geratriz de x:

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Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal

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E subtraem-se as duas igualdades

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Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.

Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 – 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.

No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:

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*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.
OBS: Artigo retirado do site www.uol.com.br

Trabalhos Prontos abril 6, 2008

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Mais de 1.500 referências para trabalhos e pesquisas escolares
Para facilitar o dia-a-dia na escola e até tirar algumas dúvidas sobre vários temas abordados na sala de aula, disponibilizamos mais de 1.500 referências para trabalhos, pesquisas e estudos de todas as disciplinas. Todas podem ser visualizadas e até modificadas conforme necessário.

 

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Função Exponencial março 2, 2008

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Função exponencial é toda função definida de R em R por f(x) = ax, com a R *+ e a ≠ 1 . Ex.
F(x) = 2x é função exponencial de base 2.

Gráfico da Função Exponencial

X = -2, -1, 0, 1, 2
Y= ¼, ½, 1, 2, 4

Quando a > 1. Ex. y = 2x (a> 1), atribuindo valores para x e y, temos:

Quando 0 < a < 1. Ex. y = (1/2)x (0 < a < 1)

Equações Exponenciais

Equação exponencial é toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Ex.

3x = 81, cuja solução é x = 4.

Para resolver a equação deve-se reduzir a potência de mesma base dos dois membros da equação e aplicar a propriedade am = an →m = n(1 ≠ a >0)

Inequações Exponenciais

Inequação exponencial é toda inequação cuja incógnita aparece em expoente. Ex.
3x > 81, que é sastifeira para x > 4.

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