Raiz de uma equação do 2º Grau

Quando resolvemos uma equação, independente do seu grau, seu resultado é chamado de raiz da equação, por exemplo, se tivermos que resolver a equação 2x² – 1 = 0 o resultado encontrado será o valor ou valores de x que também é conhecido como raiz da equação.

Especificamente no caso da equação do segundo grau, o resultado poderá ser duas raízes reais iguais, duas raízes reais diferentes ou nenhuma raiz real.
Veja alguns exemplos de equações que irá obter uma, duas e nenhuma raiz real.

Antes de iniciarmos a resolução das equações vamos relembrar a fórmula utilizada na resolução de equações do 2º grau, a fórmula de Báskara.

X = - b ± √ ∆ sendo que ∆ = b² – 4 . a . c
           2 . a

Exemplo1
t² – 6t = 0

Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = – 6
c = 0

Agora vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b2 – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-6)² – 4 . 1 . 0
∆ = 36 – 0
∆ = 36 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)

X = - b ± √ ∆
           2 . a

X = - ( -6) ± √36
                 2 . 1

X = + 6 ± 6
             2

X’ = 6 + 6 = 12 = 6
          2          2

X’’ = 6 – 6 = 0 = 0
             2       2

Portanto, as raízes encontradas foram 6 e 0 (duas raízes reais diferentes).

Exemplo 2

4x² – 28x + 49 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 4
b = – 28
c = 49

Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b² – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = (-28)² – 4 . 4 . 49
∆ = 784 – 784
∆ = 0 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)

X = - b ± √ ∆
          2 . a

X = - (-28) ± √0
              2 . 4

X = 28 ± 0
           8

X’ = 28 + 0 = 28 = 3,5
            8          8

X’’ = 28 – 0 = 28 = 3,5
             8          8

Portanto, as raízes encontradas foram 3,5 e 3,5 (duas raízes reais iguais).

Exemplo 3:
(y – 3)² = – 1

Antes de indicar os coeficientes devemos organizar a equação:

y² – 2 . y . (-3) + (-3)² = – 1
y² + 6y + 9 + 1 = 0

y² + 6y + 10 = 0
Antes de resolver devemos retirar os coeficientes da equação:
a = 1
b = 6
c = 10

Agora, vamos calcular o valor de ∆.
∆ = b² – 4 . a . c (basta substituir os valores dos coeficientes)
∆ = 6² – 4 . 1 . 10
∆ = 36 – 40
∆ = – 4 (com o valor de ∆, basta substituir os valores dos coeficientes na fórmula)

X = - b ± √ ∆
           2 . a

X = - 6 ± √-4 (não existe raiz real de índice par e radicando negativo)
             2

Portanto, essa equação não tem raiz real.

• Relação do valor de ∆ com as raízes da equação

O valor de ∆ indica quantas raízes reais terá a equação. Quando ∆ for:

∆ > 0 a equação terá duas raízes reais diferentes.

∆ < 0 a equação terá nenhuma raiz real.

∆ = 0 a equação terá duas raízes reais iguais.

Adição e Subtração de Matrizes

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada.

Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas.

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b₁₂.

►Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a₁₁ + b₁₁ = c₁₁.

Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+ = 3 x 3

Observe os elementos em destaques:

a₁₃ = – 1 e b₁₃ = – 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c₁₃ = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = – 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c₃₂, tivemos que somar a₃₂ + b₃₂.  Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = – 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

►Subtração

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a₂₁ – b₂₁ = c₂₁.

Exemplos:

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

- = 3 x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a₁₃ – b₁₃ = c_13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

Quando subtraímos a₃₁ – b₃₁ = c_31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.